トップページにカテゴリ、新着記事のまとめを掲載したい

・固定ページのアイキャッチ画像を他ページの二分割アイキャッチと同じものとすることは可能でしょうか。
⇒よくある質問の「トップページ用固定ページにヘッダーアイキャッチ画像を使いたい」に記載のある通り、恐縮ながら1カラムのトップページ用テンプレートはヘッダーアイキャッチ画像に対応しておりません。（通常の固定ページテンプレートをトップページに固定した場合はヘッダーアイキャッチ画像を表示することが可能です）

・トップの固定ページにメニューバーを表示させることは可能でしょうか。
⇒メニューバーというのはヘッダーメニューのことでしょうか。それとも記事一覧タブのことでしょうか。前者は可能ですが、後者は記事一覧用のものなので固定ページをホーム固定した場合には使用できません。

・以下参考サイトのイメージで上部にカテゴリ分けの画像、下部に新着記事を掲載するようにしたいのですがどのようにすればよろしいでしょうか。
⇒この記事に書かれている方法とショートコードを駆使しつつ、CSSでカスタマイズしつつと、細かなカスタマイズが必要だと思います。
具体的な方法はかなり込み入った話になってしまうのと、好みが分かれるところなのでこちらでお伝えすることはできません。
たとえばSANGOサポーターさんなんかが簡単に導入できるテンプレートを用意してくれています。