ヘッダーの背景をグラデーションにしたい

子テーマのstyle.css内に書くことをおすすめします。
参考：WordPressで子テーマを活用して安全にカスタマイズを行う方法

ご返信ありがとうございます
追加するCSSもお教えいただけいただけますでしょうか？

.header {
  background: linear-gradient(45deg,#色コード1,#色コード2)!important;
}

でいけると思います。