2020/06/08
ファビコンがブラウザ上で表示されているのであれば設定は問題なく完了しています。原因はテーマやWordPressではありません。
（ちなみにですが、ファビコンの設定機能はWordPress標準機能なので、他テーマで設定した場合にもまったく同じファビコン用のHTMLタグが出力されます）
Googleのクローラーが巡回していない or ファビコンを再度読みに行っていないことなどが原因だと考えられます。
個人的な経験ですが、新規サイトや評価が低いサイトでは、Googleの検索結果へのファビコンの反映に時間がかかることがあります。
よろしくお願いします。
2020/06/09
とても分かりやすく説明していただきありがとうございました！
WordPressテーマSANGOの質問
サイトアイコンが変更されない
サイトアイコン（ファビコン）をSANGOカスタマイズで設定しても、検索結果に反映されません。
一ヶ月ほどたちますが変わらない状態です。
ブックマークに登録してみるとアイコンは変わっています。しかし検索結果には反映されておらず以前のアイコンが表示されます。
もしよろしければご教授お願いします。