フォント「M PLUS Rounded 1c」選択時にテキストリンク等のアンダーラインが途切れてしまいます。

お世話になっております。
アンダーラインを下げたいということでしょうか？
恐縮ながら簡単なようで難しいですね・・・。
というのも、リンクテキストのアンダーラインはa { text-decoration: underline }というCSSで実現されており、このtext-decorationには位置を下げるような方法がないのです。
フォントとCSSの仕様の問題というイメージですね。

borderプロパティを使うという方法もあるのですが、それをやると副作用が出る可能性大なので、CSSをご自身で調整できる上級者向けの方法になってしまいます。
恐れ入りますがよろしくお願いします。

早々にご確認頂きましてありがとうございます。

a要素にpadding-bottomでborderプロパティの位置を設定したclass属性を追加しようと思っていたのですが手間とサルワカさんの副作用大のコメントで、このまま使用したいと思います。

この度の迅速かつご丁寧な対応、誠にありがとうございました。
テンプレートと併せて有益な記事を今後とも参考にさせていただきます。

あ、そこまで理解されているのですね！
（副作用を避けるためにはclass属性を使う必要があり、そのあたりの説明が初心者の方からするとややこしいかなと思い、解説を避けました）

仰る通り「a要素にpadding-bottomでborderプロパティの位置を設定したclass属性を追加」すれば、他の場所に影響を及ぼすことなくボーダーを変更可能です。

たとえば.my-underlineというクラスを持つaタグではborderによる下線にする場合は、以下のようなCSSを指定すればOKです。

.my-underline {
    text-decoration: none!important;
    border-bottom: solid 1px #5ba9f7;
    padding-bottom: 2px;
}
.my-underline:hover {
    /* ホバー時のスタイルを指定する場合はここに */
}

よろしくお願いします。