私のいくつかのサイトと、いくつかのiPhone/iPadで確認してみたのですが、問題なくアイコンが表示されており、ちょっと原因が分からないですね…。
iPhoneは、ソースコードのheadタグ内の、次の一文で設定されているURLを読みにいく仕様になっています。
<link rel="apple-touch-icon" href="画像のURL" />サイトのソースコードを見てみて（どのブラウザでも簡単にソースコードを表示できます）、↑この画像URL部分をチェックしてみると良いと思います。
画像URLを開いたときに、カスタマイザーで設定した画像が表示されている場合、問題なく設定はできています。その場合、iPhone側の問題ということになります。
ソースコードを開いたときに、上の<link rel="apple-touch-icon" が複数個見つかった場合、プラグインやカスタマイズにより余計なソースコードが追加されてしまっています。
よろしくお願いします。
ソースを確認したところ、余計なソースコードもなく、画像URLを開いてみても表示させたい画像が表示されました。Safariの履歴とキャッシュを削除したり、iPhoneを再起動してみても改善されませんでした。おっしゃる通りiPhone側の問題かもしれません…
もし可能であれば、サイトを掲載しますので一度iPhoneで見ていただけないでしょうか。
（知り合いに公開していないため他の方に見ていただく以外手段がありません…）
私のいくつかの端末でいただいたURLでお気に入り登録を試してみましたが、問題なく猫イラストのアイコンで登録されました。
古い情報が端末にキャッシュされていた等、一時的に発生した問題だと思うので特に心配する必要はないと思います！
古いキャッシュが残っているだけのようですね、了解いたしました。
ご協力ありがとうございました。助かりました！
WordPressテーマSANGOの質問
iPhoneでお気に入りのアイコンが正しく表示されない
お世話になります。カスタマイズの基本設定にて、サイトアイコンを設定しました。Chromeで開いた際にはサイトタイトルの左横に表示されるのでパソコン上での表示は問題ありません。iPhoneのSafariでサイトを開いてお気に入りに追加する際、追加前の画面ではアイコンが表示されるのですが、お気に入りに追加するとワードプレスのWのアイコンが表示されてしまいます。ちなみにホーム画面に追加するとアイコンは正常に表示されます。対処法はありますか？よろしくお願いいたします。