アイキャッチ画像
サイズチェッカー

どちらを表示させるかは自分で決めることができます。詳しくは、こちらの記事をどうぞ。

Twitterカードとは？使い方と設定方法まとめ

Twitterカードは設定をしていないと表示されないので、ご注意ください（未設定だと、通常のテキストだけのTweetになります）。なお、ツイート済のアイキャッチ画像の変更を反映される方法は下の記事でまとめています。

ツイートのサムネイル画像やタイトル変更を反映させる

「高さ315px」×「幅600px」以下の画像をアイキャッチに設定しているときには横長に小さく表示されるようになります（上の2つめの方です）。アイキャッチ画像を大きく表示させたい場合にはこれ以上のサイズにしましょう。大きめにアイキャッチ画像が表示させるときの縦横比は1：1.9です。はみ出る部分は画像の中心で切り抜かれるので注意しましょう。例えば「630px」×「1200px」などのサイズにするかと良いかと思います。

ホットエントリの中でも表示位置によってサイズが異なるので、あくまでも参考程度に留めておくのが良いかと思います。
また、はてブの場合、画像のど真ん中では無く、左上から切り取られる場合があるようです。つまり、縦長のアイキャッチ画像を使うと、画像の上の部分しか表示されない…なんてことになり兼ねないわけですね。
とはいえ、個人的にははてなブックマークに載ることを意識して、わざわざサイズを調整する必要はないのではないかと思っています…。